고등학교 수준의 설명은 직관적일 순 있어도 수학적으로 엄밀하지 않은거죠

수학은 수학적 언어를 통해 다루어지는 것이죠.

고등학교에서 배우는 정의는 교육적인 목적으로 수학적 언어를 다듬은 것이라고 보면 됩니다.

마지막 질문은 x와 a의 거리가 한없이 줄어드는 것으로 이해하시면 됩니다.

x가 a와 거리가 한 없이 줄어든다고 이해하는게 저는 범위가 좁아진다고 생각을 했는데 이렇게 생각해도 맞는건가요? 엡실론 델타 논법에서 범위가 좁아진다는건 결국 저희가 임의의 양수 입실론을 점점 작은 값으로 잡을 때 델타가 점점 작아져서 결국 x가 a로 간다는건데 그럼 사실 x는 델타범위 보다 안에 있는 어떤 값이어도 가능한거니깐 저는 이런 이유로 x를 단순히 그래프 위의 점으로 보고 다가간다는게 잘못된 인식이라고 생각해서 양쪽에서 a로 범위(범위가 좁아지는걸 시각화 하기위해 직선을 도입하였습니다)가 좁아진다고 인식한거였습니다.
이게 잘못된건지, 아니면 잘 하고 있는지 수정할 점은 없는지 조언해주실수 있나요?

범위가 아니라 [거리]가 줄어드는 것으로 이해하는게 좋습니다.

그게 이변수 이상의 함수 등 일반화된 상황에서도 똑같이 적용할 수 있기 때문입니다.

시각적으로는 a를 중심으로 반지름이 델타인 [원]을 그리고 그 원의 반지름이 점점 줄어드는 것으로 생각하면 됩니다.

아 제가 말씀드린 범위가 좁아진다고 이해한게 어떻게보면 거리가 좁아진다고도 볼 수 있는거였군요. 그런데 궁금한점은 입실론 델타 논법에서 말씀하신 그 거리 안에 있는 모든 x가 조건을 만족하기에 저는단순히 거리 라고만 보면 그 안의 x가 조건을 성립한다는 부분이 빈약하다고 느껴져서 범위라고 이해했던 거였습니다. 그리고 원으로 이해하는 방법도 좋은 것 같은데 반지름이 입실론인 원으로 잡으면 사실 그 함숫값과 L의 차는 입실론보다 약간 작기에 제생각에는 보다 엄밀한 수직 수평 밴드법을 사용한 것 이었고 그중 수평밴드는 직관적 이해에 필요 없다고 느껴서 수직 밴드만 남긴게 제가 아까 말한 방식이었습니다.

이런 이유로 제 방식(?)으로 생각하게 되었는데 혹기 정확히 어떤부분이 잘못되었다고나 수정이 필요한지 말씀해주시면 감사하겠습니다. (거리로 줄어든다고 이해하는 것은 위에서 언급했듯이 그 거리내에있는 모든 x가 그 조건을 만족한다는 부분이 범위로 이해하면 더 확실한 것 같은데 이거에 대한 생각도 적어주시면 감사할것 같습니다)

거리로 보는 것에 대해 어떤 점이 빈약하다고 느껴지나요?

물리물리님이 알고 있는 극한의 엄밀한 정의 자체가 원래 거리로 서술되어 있는 개념입니다.



- 극한의 정의 -

임의의 입실론에 대하여 델타가 존재하여 a를 중심으로 한 반지름이 델타인 원 안에 x(=/= a)가 있으면[= x와 a 사이의 거리가 (0 초과) 델타 미만이면],

L를 중심으로 한 반지름이 입실론인 원 안에 f(x)가 있다[= f(x)와 L 사이의 거리가 입실론 미만이다].

입실론 델타논법에서 임의의 양수 입실론에 대하여 0<|x-a|<델타->|f(x)-L|<입실론 을 만족시키는 델타가 존재할때 가 입실론 델타 논법입니다. 여기서 a-(델타)<x<a+(델타) 범위내에 있는 모든 수를 의미하는게 맞지 않나요? 그렇다면 범위로 보는게 더 정확하지 않나? 라는게 제 생각이었습니다.

예를 들어 이변수 이상의 상황에서는 일반적으로는 정의역을 단순히 범위로 나타낼 수 없는 상황이 많습니다.

수학을 대할 때는 기본적으로 일반화와 추상화를 생각하면서 이해하는게 좋다고 보면 됩니다.

굳이 일변수함수에 한정해서 물리물리님처럼 이해할 수는 있습니다만, 이후에 배울 거리들을 위해 거리 개념을 도입하는게 좋다고 생각하시면 됩니다.

네, 그게 거리 개념으로 정의된 것입니다.

|x - a| = x와 a 사이의 거리

선생님 표현으로 말하자면 X가 원안에 있을때 저는 그 원을 범위로 보고 접근한다는 거였습니다. 원안의 어떤 x더라고 저 명제가 성립해야 하니까요

아 그럼 제가 말한 범위나 선생님께서 말한 거리나 똑같은 거네요?

제가 모호했던건 그거였습니다. |x-a|가 델타보다 작다는 거는 x가 a+델타 거리 안에 있는 모든 값이 될 수 있기에 그 거리를 범위로 보고 접근한다는 거였습니다. 결국 똑같은 말이라는 거네요

네, 똑같은 건데 범위 보다는 거리로 이해하는 것이 좋다는 말입니다. :)

혹시 어떤경우에 그런지 설명해 주실 수 있나요? 잘 감이 안와서...

예를 들어 이변수함수 f(x, y)의 정의역이 x^2 + y^2 <=1 (좌표평면에서 중심이 원점이고 반지름이 1인 원과 그 내부) 이라면

x의 범위와 y의 범위를 각각 따로 부등식으로 나타내기 힘들죠.

이런 상황에서는 물리물리님이 생각한 수직수평밴드법 같은 것을 적용하기 어렵겠죠. ㅎㅎ

장말 감사합니다! 그러먄 지금까지 대화한 내용을 한 문장으로 정리하면 0<|x-a|<델타 는 x에서 a까지의 거리임을 인지하고 거리가 델타보다 작은 것이기에 범위로도 생각할 수 있다. 그러나 거리가 본질적 접근이라는게 되겠네요

루댄스님 맥주 박사가 아니라 이학박사신듯

물박사라 코스웍 까먹어서 공부 다시 하고 있읍니다...

고등학교 표현이 ‘잘못’된 건 아니에요. 얼마나, 언제부터, 어느 정도로 가까워져야 하는지 정확한 기준을 생략했을 뿐입니다

맥주는 물이다 메모메모..

고등학교 수학에서의 '접근한다' 표현이 엄밀하지 않다는 것은 명확하지만, 그 접근법이 잘못된 것이냐는 잘 모르겠고 개인적으로는 그렇지 않다고 생각합니다. 대한민국 인구의 90% 정도는 입실론-델타 정의를 정확하게 이해하기 어렵고, 99% 정도는 입실론-델타 정의를 활용하여 학문을 해야하는 사람들이 아니기 때문입니다. 실질적으로 고등학교 수학을 배우는 사람이 전국민의 90% 이상이라는 점을 고려할 때, 보통교육을 지향하는 한국 교육체계에서는 극한의 개념을 가장 직관적으로 알게 하여 학습목표를 성취하는 데 '접근한다' 라는 표현을 사용하는 것이 가장 적합하다는 (암묵적) 합의가 있는 것입니다. 무한집합의 정의를 칸토르의 정의(농도가 같은 진부분집합의 존재)로 소개하지 않는 것과 동일한 맥락입니다.

글과 상관 없는 이야기인데 hoxy... 필요하시다면
윈도에서 윗첨자는 ㅊ+한자 부등호는 ㄷ+한자 쓰시면 가능합니다... x² + y² ≤ 1
그리스 알파벳은 ㅎ+한자 입니다 (델타 = Δ 혹은 δ, 입실론 = ε)
(근데 아마 교수님 정도면 이미 아실지도...)

@먹이 이게 훨씬 귀찮… ㅋㅋ

무한히 다가간다는 모호한 개념을 엄격한 논리기호로 표현하는 방법을 찾아낸 것이 입실론 델타를 이용한 "극한의 정의"가 되겠죠. 그 방법을 찾아낸 이후 우리 인류는 "거리"가 정의되어 있는 집합에 대해서는 무한히 다가간다라는 말이 무슨 뜻인지 애매한 비유나 직관에 기대지 않고 엄격하게 서술할수 있게 되었죠.

계속 질문 드려서 죄송한데 궁금한게 있어서요..
질문1: 엡실론 값이 정해지면 델타값도 정해진다고 나오는데 델타값이 하나로 정해지는건 아니지 않나요? 예컨데 엡실론이 0.1일때 델타가 0.05이면 사실은 델타가 0.05보다 작아도 함숫값과 L사이의 차가 0.1보다 작게 된다는 명제는 여전히 참이니깐 델타는 0.05보다 작은 수면 다 가능한거 아닌가요?
질문2: 원으로 시각화 한다는게 정확히 어떻게 하는건지 설명해 주실 수 있나요?

1. 네, 정확하게 이해하셨네요. 하나의 입실론에 대해 델타는 여러 개가 될 수 있습니다.

2. 어렵게 생각할 필요없이 단순히 'a를 중심으로 반지름 델타의 원', 그리고 'f(a)를 중심으로 반지름 입실론의 원'을 그리면 됩니다.

근데 왜 스튜어트 책에는 엡실론 값을 주고 델타값을 구하라고 할때 델타가 하나로 정해지나요? 델타를 범위로 구해야 하는거 아닌가요?

델타의 존재성만 입증하면 되어서 그런가요?

네, 존재하는 수많은 델타 중 하나만 대답하면 됩니다.

존재성만 있으면 되니까요.